१. एक छोटा सिक्का जिसकी त्रिज्या १ सेमी है, एक बहुत बड़े स्थिर सिक्के की आंतरिक परिधि पर लुढ़क रहा है, जिसकी त्रिज्या १० सेमी है। जब छोटा सिक्का अपनी शुरुआती स्थिति में वापस पहुँचता है, तो वह अपने केंद्र के चारों ओर कुल कितने रेडियन घूमा होगा?
२. एक नियमित १७ भुजाओं वाले बहुभुज (heptadecagon) में, केंद्र से दो गैर-सटे हुए शीर्षों को जोड़ने पर बनने वाले कोण की सटीक रेडियन माप क्या होगी, जहाँ वे शीर्ष ठीक ५ भुजाओं से अलग हों?
३. यदि आप ८ मीटर त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर चलते हैं और ठीक १०π मीटर चाप लंबाई तय करते हैं, तो आपने कुल कितने पूर्ण चक्कर (रेडियन में व्यक्त) लगाए होंगे?
४. एक घड़ी की मिनट की सुई १२ सेमी लंबी है। १२:०० से शुरू करके कितने मिनट बाद सुई का सिरा ठीक २५π सेमी की दूरी तय करेगा? उत्तर मिनटों में और सुई द्वारा घूमे गए रेडियन में दोनों दें।
५. एक बकरी एक गोलाकार बाड़े (त्रिज्या r) की परिधि पर एक बिंदु से २πr लंबी रस्सी से बंधी है। बकरी कुल कितना क्षेत्रफल (r के पदों में) चर सकती है? (यह एक प्रसिद्ध पहेली है — रेडियन से सीमा बहुत सुंदर बन जाती है।)
६. १ डिग्री प्रति सेकंड की कोणीय गति को रेडियन प्रति घंटा में बदलें। फिर बताएँ कि यह संख्या ठीक-ठीक लिखने पर क्यों इतनी "साफ-सुथरी" दिखती है।
७. फलन f(x) = sin(√2 x) + cos(√3 x) का काल (period) रेडियन में क्या होगा? (संक्षेप में बताएँ कि यह प्रश्न पहली नजर में जितना आसान लगता है, उतना आसान क्यों नहीं है।)
८. एक ५ मीटर लंबी सीढ़ी दीवार पर फिसल रही है। जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से ३ मीटर दूर होता है, तो यदि निचला सिरा २ सेमी/सेकंड की गति से दूर जा रहा हो, तो सीढ़ी और जमीन के बीच का कोण कितनी तेजी से (रेडियन प्रति सेकंड में) बदल रहा होगा?
९. सबसे छोटा धनात्मक कोण θ (रेडियन में) क्या होगा जो इस शर्त को संतुष्ट करे: sin(θ) = sin(θ + π/७) = sin(θ + २π/७)? (यह प्रश्न जड़ों की एकता और त्रिगुणात्मक समीकरणों से जुड़ा है।)
१०. इकाई वृत्त पर कल्पना करें। आप (१,०) बिंदु से शुरू करते हैं और १ रेडियन प्रति सेकंड की चाल से वृत्त पर चलते हैं। t सेकंड बाद आपकी स्थिति (cos t, sin t) होगी।
पहले १०० सेकंड में ठीक किन-किन समय t पर आप (०,१) बिंदु से उतनी ही दूरी पर होंगे जितनी (०,-१) बिंदु से? सामान्य रूप दें।